Exqule Forever

Nothing with me, but Forever.

牛顿二项式定理

发布于 2020-05-10 | 分类于 二项式定理 、 组合数学 | 3分钟 | 478字数

牛顿二项式定理

(0 ≤ |x| < |y| )(x+y)α=∑k=0∞(αk)xkyα−k(x+y)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {x}^{k} {y}^{\alpha-k} \tag{0 $\leq$ |x| < |y| }

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容斥：错位排列

发布于 2020-05-10 | 分类于 容斥 、 组合数学 | 6分钟 | 1130字数

容斥：错位排列

​ 令 {1,2,...,n1,2,...,n} 的一个错位排列，是一个排列 a1,a2,...,an{a_1,a_2,...,a_n}，使得 a1≠1,a2≠2,...,an≠n{a_1}\ne{1},{a_2}\ne{2},...,{a_n}\ne{n}。

​ 令 DnD_n 表示大小为 nn 的错位排列的方案数。

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常用组合数公式的证明

发布于 2020-05-07 | 分类于 组合数学 | 8分钟 | 1556字数

常用组合数公式的证明

​ 证明中可能用到的一些前置知识，这里我不再给出他们证明：

(1)(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}{x}^{k}{y}^{n-k}}\tag{1}

(2)(n+1k+1)=(nk+1)+(nk)\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}\tag{2}

​ 上述是著名的二项式公式和帕斯卡公式，下面我们将利用他们对另外的一些组合数公式予以证明。

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